Voer een woord of zin in in een taal naar keuze 👆
Taal:
Vertaling en analyse van woorden door kunstmatige intelligentie ChatGPT
Op deze pagina kunt u een gedetailleerde analyse krijgen van een woord of zin, geproduceerd met behulp van de beste kunstmatige intelligentietechnologie tot nu toe:
- hoe het woord wordt gebruikt
- gebruiksfrequentie
- het wordt vaker gebruikt in mondelinge of schriftelijke toespraken
- opties voor woordvertaling
- Gebruiksvoorbeelden (meerdere zinnen met vertaling)
- etymologie
Wat (wie) is Ортогональная система функций - definitie
Ортонормированная система функций; Ортонормированные функции
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) - некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... - ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-?, ?].
Ортогональная система функций
система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что
Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - О. с. ф. с весом 1 на отрезке [-π, π]. Бесселя функции 
, где n = 1, 2,..., 
- положительные нули Jν(x), образуют для каждого ν > - 1/2 О. с. ф. с весом х на отрезке [0, l ].
Если каждая функция φ (х) из О. с. ф. такова, что 
(условие нормированности), то такая система функций называется нормированной. Любую О. с. ф. можно нормировать, умножив φ (х) на число 
- нормирующий множитель.
Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма - Лиувилля задачи (См. Штурма - Лиувилля задача) для уравнения [ρ(х) у' ]' + q (x) y = λу, удовлетворяющих граничным условиям у (а) + hy'(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, где h и Н - постоянные. Эти решения - т. н. собственные функции задачи - образуют О. с. ф. с весом ρ (х) на отрезке [a, b ].
Чрезвычайно важный класс О. с. ф. - Ортогональные многочлены - был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.- задача о разложении функции f (x) в ряд вида 
, где {φп (х)} - О. с. ф. Если положить формально 
, где {φп (х)} - нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на φп (х) ρ(х) и интегрируя от а до b, получим:
Коэффициенты Сп , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {φn (x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма 
наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом ρ(х):
(*)
имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида 
. Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя
Ряд ∑∞n=1Cnφn(x) с коэффициентами Сп , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. {φn (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций φk (x), то есть 
в этом случае говорят, что ряд ∑∞n=1Cnφn(x) сходится в среднем к функции f (x)]. 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса ρ(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова - Стеклова:
3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям φn (x), n = 1, 2,....
Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство), то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. - разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова - Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.
Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.
Ортонормированная система
Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.
Wikipedia
Ортонормированная система
Ортонорми́рованная система — ортогональная система, у которой каждый элемент системы имеет единичную норму.
